小學應用題類型分類

時間：2024-08-26 00:48:40 小學知識

小學應用題類型分類

　　應用題是指將所學知識應用到實際生活實踐的題目。在數學上，應用題分兩大類：一個是數學應用。另一個是實際應用。數學應用就是指單獨的數量關系，構成的題目，沒有涉及到真正實量的存在及關系。實際應用也就是有關于數學與生活題目。接下來小編為你帶來小學應用題類型分類，希望對你有幫助。

　　求平均數應用題是在“把一個數平均分成幾份，求一份是多少”的簡單應用題的基礎上發展而成的。它的特征是已知幾個不相等的數，在總數不變的條件下，通過移多補少，使它們完全相等。最后所求的相等數，就叫做這幾個數的平均數。

　　解答這類問題的關鍵，在于確定“總數量”和與總數量相對應的“總份數”。

　　計算方法：

　　總數量÷總份數＝平均數

　　平均數×總份數＝總數量

　　總數量÷平均數＝總份數

　　例1：東方小學六年級同學分兩個組修補圖書。第一組28人，平均每人修補圖書15本；第二組22人，一共修補圖書280本。全班平均每人修補圖書多少本？

　　要求全班平均每人修補圖書多少本，需要知道全班修補圖書的總本數和全班的總人數。

　　(15×28+280)÷(28+22)=14本

　　例2：有水果糖5千克，每千克2.4元；奶糖4千克，每千克3.2元；軟糖11千克，每千克4.2元。將這些糖混合成什錦糖。這種糖每千克多少元？

　　要求什錦糖每千克多少元，要先出這幾種糖的總價和總重量最后求得平均數，即每千克什錦糖的價錢。

　　(2.4×5+3.2×4+4.2×11)÷(5+4+11)=3.55元

　　例3、要挖一條長1455米的水渠，已經挖了3天，平均每天挖285米，余下的每天挖300米。這條水渠平均每天挖多少米？

　　已知水渠的總長度，平均每天挖多少米，就要先求出一共挖了多少天。

　　1455÷(3+(1455-285×3)÷300)=291米

　　例4、小華的期中考試成績在外語成績宣布前，他四門功課的平均分是90分。外語成績宣布后，他的平均分數下降了2分。小華外語成績是多少分？

　　解法一：先求出四門功課的總分，再求出一門功課的的總分，然后求得外語成績。

　　(90–2)×5–90×4=80分

　　例5、甲乙丙三人在銀行存款，丙的存款是甲乙兩人存款的平均數的1.5倍，甲乙兩人存款的和是2400元。甲乙丙三人平均每人存款多少元？

　　要求甲乙丙三人平均每人存款多少元，先要求得三人存款的總數。

　　(2400÷2×1.5+2400)÷3=1400元

　　例6、甲種酒每千克30元，乙種酒每千克24元。現在把甲種酒13千克與乙種酒8千克混合賣出，當剩余1千克時正好獲得成本，每千克混合酒售價多少元？

　　要求每千克混合酒售價多少元，要先求得兩種酒的總價錢和兩種酒的總千克數。因為當剩余1千克時正好獲得成本，所以在總千克數中要減去1千克。

　　(30×13+24×8)÷(13+8–1)=29.1元

　　例7、甲乙丙三人各拿出相等的錢去買同樣的圖書。分配時，甲要22本，乙要23本，丙要30本。因此，丙還給甲13.5元，丙還要還給乙多少元？

　　先求買來圖書如果平均分，每人應得多少本，甲少得了多少本，從而求得每本圖書多少元。

　　1．平均分，每人應得多少本

　　(22+23+30)÷3=25本

　　2．甲少得了多少本

　　25–22=3本

　　3．乙少得了多少本

　　25–23=2本

　　4．每本圖書多少元

　　13.5÷3=4.5元

　　5．丙應還給乙多少元

　　4.5×2=9元

　　13.5÷［(22+23+30)÷3–22］×［(22+23+30)÷3–23］=9元

　　例8、小榮家住山南，小方家住山北。山南的山路長269米，山北的路長370米。小榮從家里出發去小方家，上坡時每分鐘走16米，下坡時每分鐘走24米。求小榮往返一次的平均速度。

　　在同樣的路程中，由于是下坡的不同，去時的上坡，返回時變成了下坡；去時的下坡，回來時成了上坡，因此，所用的時間也不同。要求往返一次的平均速度，需要先求得往返的總路程和總時間。

　　1、往返的總路程

　　(260+370)×2=1260米

　　2、往返的總時間

　　(260+370) ÷16+(260+370)÷24=65.625分

　　3、往返平均速度

　　1260÷65.625=19.2米

　　(260+370)×2÷［(260+370) ÷16+(260+370)÷24］=19.2米

　　例9、草帽廠有兩個草帽生產車間，上個月兩個車間平均每人生產草帽185頂。已知第一車間有25人，平均每人生產203頂；第二車間平均每人生產草帽170頂，第二車間有多少人？

　　解法一：

　　可以用“移多補少獲得平均數”的思路來思考。

　　第一車間平均每人生產數比兩個車間平均每人平均數多幾頂？203–185=18頂；第一車間有25人，共比按兩車間平均生產數計算多多少頂？18×25=450。將這450頂補給第二車間，使得第二車間平均每人生產數達到兩個車間的總平均數。

　　6．第一車間平均每人生產數比兩個車間平均頂數多幾頂？

　　203–185=18頂

　　7．第一車間共比按兩車間平均數逆運算，多生產多少頂？

　　18×25=450頂

　　8．第二車間平均每人生產數比兩個車間平均頂數少幾頂？

　　185–170=15頂

　　9．第二車間有多少人、

　　450÷15=30人

　　(203–185) ×25÷(185–170) =30人

　　例10、一輛汽車從甲地開往乙地，去時每小時行45千米，返回時每小時行60千米。往返一次共用了3.5小時。求往返的平均速度。(得數保留一位小數)

　　解法一：

　　要求往返的平均速度，要先求得往返的距離和往返的時間。

　　去時每小時行45千米，1千米要小時；返回時每小時行60千米，1千米要小時。往返1千米要( + )小時，進而求得甲乙兩地的距離。

　　1、甲乙兩地的距離

　　3.5÷( + )=90千米

　　2、往返平均速度

　　90×2÷3.5≈52.4千米

　　3.5÷( + )×2÷3.5≈52.4千米

　　解法二：

　　把甲乙兩地的距離看作“1”。往返距離為2個“1”，即1×2=2。去時每千米需小時，返回時需小時，最后求得往返的平均速度。

　　1÷( + )≈51.4千米

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　　在解答某一類應用題時，先求出一份是多少（歸一），然后再用這個單一量和題中的有關條件求出問題，這類應用題叫做歸一應用題。

　　歸一，指的是解題思路。

　　歸一應用題的特點是先求出一份是多少。歸一應用題有正歸一應用題和反歸一應用題。在求出一份是多少的基礎上，再求出幾份是多產，這類應用題叫做正歸一應用題；在求出一份是多少的基礎上，再求出有這樣的幾份，這類應用題叫做反歸一應用題。

　　根據“求一份是多少”的步驟的多少，歸一應用題也可分為一次歸一應用題，用一步就能求出“一份是多少”的歸一應用題；兩次歸一應用題，用兩步到處才能求出“一份是多少”的歸一應用題。

　　解答這類應用題的關鍵是求出一份的數量，它的計算方法：

　　總數÷份數＝一份的數

　　例1、 24輛卡車一次能運貨物192噸，現在增加同樣的卡車6輛，一次能運貨物多少噸？

　　先求1輛卡車一次能運貨物多少噸，再求增加6輛后，能運貨物多少噸。

　　這是一道正歸一應用題。192÷24×(24+6)=240噸

　　例2、張師傅計劃加工552個零件。前5天加工零件345個，照這樣計算，這批零件還要幾天加工完？

　　這是一道反歸一應用題。

　　例3、 3臺磨粉機4小時可以加工小麥2184千克。照這樣計算，5臺磨粉機6小時可加工小麥多少千克？

　　這是一道兩次正歸一應用題。

　　例4、一個機械廠和4臺機床4.5小時可以生產零件720個。照這樣計算，再增加4臺同樣的機床生產1600個零件，需要多少小時？

　　這是兩次反歸一應用題。要先求一臺機床一小時可以生產零件多少個，再求需要多少小時。

　　1600÷［720÷4÷4.5×(4+4)］=5小時

　　例5、一個修路隊計劃修路126米，原計劃安排7個工人6天修完。后來又增加了54米的任務，并要求在6天完工。如果每個工人每天工作量一定，需要增加多少工人才如期完工？

　　先求每人每天的工作量，再求現在要修路多少米，然后求要5天完工需要工人多少人，最后求要增加多少人。

　　(126+54)÷(126÷7÷6×5)–7=5人

　　例6、用兩臺水泵抽水。先用小水泵抽6小時，后用大水泵抽8小時，共抽水624立方米。已知小水泵5小時的抽水量等于大水泵2小時的抽水量。求大小水泵每小時各抽水多少立方米？

　　解法一：

　　根據“小水泵5小時的抽水量等于大水泵2小時的抽水量”，可以求出大水泵1小時的抽水量相當于小水泵幾小時的抽水量。把不同的工作效率轉化成某一種水泵的工作效率。

　　1、大水泵1小時的抽水量相當于小水泵幾小時的抽水量？

　　5÷2=2.5小時

　　2、大水泵8小時的抽水量相當于小水泵幾小時的抽水量

　　2.5×8=20小時

　　3、小水泵1小時能抽水多少立方米？

　　642÷(6+20)=24立方米

　　4、大水泵1小時能抽水多少立方米？

　　24×2.5=60立方米

　　解法二：

　　1、小水泵1小時的抽水量相當于大水泵幾小時的抽水量

　　2÷5=0.4小時

　　2、小水泵6小時的抽水量相當于大水泵幾小時的抽水量

　　0．4×6=2.4小時

　　3、大水泵1小時能抽水多少立方米？

　　624÷(8+2.4)=60立方米

　　4、小水泵1小時能抽水多少立方米？

　　60×0.4=24立方米

　　例7、東方小學買了一批粉筆，原計劃29個班可用40天，實際用了10天后，有10個班外出，剩下的粉筆，夠有校的班級用多少天？

　　先求這批粉筆夠一個班用多少天，剩下的粉筆夠一個班用多少天，然后求夠在校班用多少天。

　　1、這批粉筆夠一個班用多少天

　　40×20=800天

　　2、剩下的粉筆夠一個班用多少天

　　800–10×20=600天

　　3、剩下幾個班

　　20–10=10個

　　4、剩下的粉筆夠10個班用多少天

　　600÷10=60天

　　(40×20–10×20) ÷(20–10) =60天

　　例8、甲乙兩個工人加工一批零件，甲4.5小時可加工18個，乙1.6小時可加工8個，兩個人同時工作了27小時，只完成任務的一半，這批零件有多少個？

　　先分別求甲乙各加工一個零件所需的時間，再求出工作了27小時，甲乙兩工人各加工了零件多少個，然后求出一半任務的零件個數，最后求出這批零件的個數。

　　［27÷(4.5÷18)+27÷(1.6÷8)］×2=486個

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　　在解答某一類應用題時，先求出總數是多少（歸總），然后再用這個總數和題中的有關條件求出問題。這類應用題叫做歸總應用題。

　　歸總，指的是解題思路。

　　歸總應用題的特點是先總數，再根據應用題的要求，求出每份是多少，或有這樣的幾份。

　　例1、一個工程隊修一條公路，原計劃每天修450米。80天完成。現在要求提前20天完成，平均每天應修多少米？

　　450×80÷(80–20)=600米

　　例2、家具廠生產一批小農具，原計劃每天生產120件，28天完成任務；實際每天多生產了20件，可以幾天完成任務？

　　要求可以提前幾天，先要求出實際生產了多少天。要求實際生產了多少天，要先求這批小農具一共有多少件。

　　28–120×28÷(120+20)=4天

　　例3、裝運一批糧食，原計劃用每輛裝24袋的汽車9輛，15次可以運完；現在改用每輛可裝30袋的汽車6輛來運，幾次可以運完？

　　24×9×15÷30÷6=18次

　　例4、修整一條水渠，原計劃由8人修，每天工作7.5小時，6天完成任務，由于急需灌水，增加了2人，要求4天完成，每天要工作幾小時？

　　一個工人一小時的工作量，叫做一個“工時”。

　　要求每天要工作幾小時，先要求修整條水渠的工時總量。

　　1、修整條水渠的總工時是多少？

　　7.5×8×6=360工時

　　2、參加修整條水渠的有多少人

　　8+2=10人

　　3、要求 4天完成，每天要工作幾小時

　　4、 360÷4÷10=9小時

　　7.5×8×6÷4÷(8+2) =9小時

　　例5、一項工程，預計30人15天可以完成任務。后來工作的天后，又增加3人。每人工作效率相同，這樣可以提前幾天完成任務？

　　一個工人工作一天，叫做一個“工作日”。

　　要求可以提前幾天完成，先要求得這項工程的總工作量，即總工作日。

　　1、這項工程的總工作量是多少？

　　15×30=450工作日

　　2、 4天完成了多少個工作日？

　　4×30=120工作日

　　3、剩下多少個工作日？

　　450–120=330工作日

　　4、剩下的要工作多少天？

　　330÷(30+3)=10天

　　5、可以提前幾天完成？

　　15–(4+10)=1天

　　15–［(15×30–4×30) ÷(30+3)+4］=1天

　　例6、一個農場計劃28天完成收割任務，由于每天多收割7公頃，結果18天就完成了任務。實際每天收割多少公頃？

　　要求實際每天收割多少公頃，要先求原計劃每天收割多少公頃。要求原計劃每天收割多少公頃，要先求18天多收割了多少公頃。18天多收割的就是原計劃(28–18)天的收割任務。

　　1、 18天多收割了多少公頃

　　7×18=126公頃

　　2、原計劃每天收割多少公頃

　　126÷(28–18)=12.6公頃

　　3、實際每天收割多少公頃

　　12．6+7=19.6公頃

　　7×18÷(28–18) +7=19.6公頃

　　例7、休養準備了120人30天的糧食。5天后又新來30人。余下的糧食還夠用多少天？

　　先要求出準備的糧食1人能吃多少天，再求5天后還余下多少糧食，最后求還夠用多少天。

　　1、準備的糧食1人能吃多少天

　　300×120=3600天

　　2、 5天后還余下的糧食夠1人吃多少天

　　3600–5×120=3000天

　　3、現在有多少人

　　120+30=150人

　　4、還夠用多少天

　　3000÷150=20天

　　(300×120–5×120) ÷(120+30) =20天

　　例8、一項工程原計劃8個人，每天工作6小時，10天可以完成。現在為了加快工程進度，增加22人，每天工作時間增加2小時，這樣，可以提前幾天完成這項工程？

　　要求可以幾天完成，要先求現在完成這項工程多少天。要求現在完成這項工程多少天，要先求這項工程的總工時數是多少。

　　10–6×10×8÷(8+22)÷(6+2)=8天

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　　已知兩個數以及它們之間的倍數關系，要求這兩個數各是多少的應用題，叫做和倍應用題。

　　解答方法是：

　　和÷（倍數+1）＝1份的數

　　1份的數×倍數＝幾倍的數

　　例1、有甲乙兩個倉庫，共存放大米360噸，甲倉庫的大米數是乙倉庫的3倍。甲乙兩個倉庫各存放大米多少噸？

　　例2、一個畜牧場有綿羊和山羊共148只，綿羊的只數比山羊只數的2倍多4只。兩種羊各有多少只？

　　山羊的只數：(148-4)÷(2+1)=48只

　　綿羊的只數：48×2+4=100只

　　例3、一個飼養場養雞和鴨共3559只，如果雞減少60只，鴨增加100只，那么，雞的只數比鴨的只數的2倍少1只。原來雞和鴨各有多少只？

　　雞減少60只，鴨增加00只后，雞和鴨的總數是3559-60+100=3599只，從而可求出現在鴨的只數，原來鴨的只數。

　　1、現在雞和鴨的總只數

　　3559-60+100=3599只

　　2、現在鴨的只數

　　(3599-1)÷(2+1)=1200只

　　3、原來鴨的只數

　　1200-100=1100只

　　4、原來雞的只數

　　3599-1100=2459只

　　例4、甲乙丙三人共同生產零件1156個，甲生產的零件個數比乙生產的2倍還多15個；乙生產的零件個數比丙生產的2倍還多21個。甲乙丙三人各生產零件多少個？

　　以丙生產的零件個數為標準(1份的數)，乙生產的零件個數=丙生產的2倍-21個；甲生產的零件個數=丙的(2×2)倍+(21×2+15)個。

　　丙生產零件多少個？

　　(1156-21-21×2-15)÷(1+2+2×2)=154個

　　乙：

　　154×2+21=329個

　　甲：

　　329×2+15=673個

　　例5、甲瓶有酒精470毫升，乙瓶有酒精100毫升。甲瓶酒精倒入乙瓶多少毫升，才能使甲瓶酒精是乙瓶的2倍？

　　要使甲瓶酒精是乙瓶的2倍，乙瓶是1份，甲瓶是2份，要先求出一份是多少，再求還要倒入多少毫升。

　　1、一份是多少

　　(470+100)÷(2+1)=190毫升

　　2、還要倒入多少毫升

　　190-100=90毫升

　　例6、甲乙兩個數的和是7106，甲數的百位和十位上的數字都是8，乙數百位和十位上的數字都是2。用0代替這兩個數里的這些8和2，那么，所得的甲數是乙數的5倍。原來甲乙兩個數各是多少？

　　把甲數中的兩個數位上的8都用0代替，那么這個數就減少了880；把乙數中的兩個數位上的2都用0代替，那么這個數就減少了220。這樣，原來兩個數的和就一共減少了(880+220)

　　［7106-(880+220)］÷(5+1)+220=1221……乙數

　　7106-1221=5885……甲數

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　　已知兩個數的差以及它們之間的倍數關系，要求這兩個數各是多少的應用題，叫做差倍應用題。

　　解答方法是：

　　差÷（倍數-1）＝1份的數

　　1份的數×倍數＝幾倍的數

　　例1、甲倉庫的糧食比乙倉多144噸，甲倉庫的糧食噸數是乙倉庫的4倍，甲乙兩倉各存有糧食多少噸？

　　以乙倉的糧食存放量為標準(即1份數)，那么，144噸就是乙倉的(4-1)份，從而求得一份是多少。

　　114÷(4-1)=48噸……乙倉

　　例2、參加科技小組的人數，今年比去年多41人，今年的人數比去年的3倍少35人。兩年各有多少人參加？

　　由“今年的人數比去年的3倍少35人”，可以把去年的參加人數作為標準，即一份的數。今年參加人數如果再多35人，今年的人數就是去年的3倍。(41+35)就是去年的(3-1)份

　　去年：(41+35)÷(3-1)=38人

　　例3、師傅生產的零件的個數是徒弟的6倍，如果兩人各再生產20個，那么師傅生產的零件個數是徒弟的4倍。兩人原來各生產零件多少個？

　　如果徒弟再生產20個，師傅再生產20×6=120個，那么，現在師傅生產的個數仍是徒弟的6倍。可見20×6-20=100個就是徒弟現有個數的6-2=4倍。

　　(20×6-20)÷(6-4)-20=30個……徒弟原來生產的個數

　　30×6=180個師傅原來生產個數

　　例4、第一車隊比第二車隊的客車多128輛，再起從第一車隊調出11輛客車到第二車隊服務，這時，第一車隊的客車比第二車隊的3倍還多22輛。原來兩車隊各有客車多少輛？

　　要求“原來兩車隊各有客車多少輛”，需要求“現在兩車隊各有客車多少輛”；要求“現在兩車隊各有客車多少輛”，要先求現在第一車隊比第二車隊的客車多多少輛。

　　1、現在第一車隊比第二車隊的客車多多少輛

　　128-11×2=106輛

　　2、現在第二車隊有客車多少輛？

　　(106-22)÷(3-1)=42輛

　　3、第二車隊原有客車多少輛？

　　42-11=31輛

　　4、第一車隊原有客車多少輛？

　　31+128=159輛

　　例5、小華今年12歲，他父親46歲，幾年以后，父親的年齡是兒子年齡的3倍？

　　父親的年齡與小華年齡的差不變。

　　要先求當父親的年齡是兒子年齡的3倍時小華多少歲，再求還要多少年。

　　(46-12)÷(3-1)-12=5年

　　例6、甲倉存水泥64噸，乙倉存水泥114噸。甲倉每天存入8噸，乙倉每天存入18噸。幾天后乙倉存放水泥噸數是甲倉的2倍？

　　現在甲倉的2倍比乙倉多(64×2-114)噸，要使乙倉水泥噸數是甲倉的2倍，每天乙倉實際只多存入了(18-2×8)噸。

　　(64×2-114)÷(18-2×8)=7天

　　例7、甲乙兩根電線，甲電線長63米，乙電線長29米。兩根電線剪去同樣的長度，結果甲電線所剩下長度是乙電線的3倍。各剪去多少米？

　　要求“各剪去多少米”，要先求得甲乙兩根電線所剩長度各是多少米。兩根電線的差不變，甲電線的長度是乙電線的3倍。從而可求得甲乙兩根電線所剩下的長度。

　　1、乙電線所剩的長度

　　(63-29)÷(3-1)=17米

　　2、剪去長度

　　29-17=12米

　　例8、有甲乙兩箱橘子。從甲箱取10只放入乙箱，兩箱的只數相等；如果從乙箱取15只放入甲箱，甲箱橘子的只數是乙箱的3倍。甲乙兩箱原來各有橘子多少只？

　　要求“甲乙兩箱原來各有橘子多少只”，先求甲乙兩箱現在各有橘子多少只。

　　已知現在“甲箱橘子的只數是乙箱的3倍”，要先求現在甲箱橘子比乙箱多多少只。原來甲箱比乙箱多10×2=20只，“從乙箱取15只放入甲箱”，又多了15×2=30只。現在兩箱橘子相差(10×2+15×2)只。

　　(10×2+15×2)÷(3-1)+15=40只……乙箱

　　40+10×2=60只……甲箱

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　　已知兩個數的和與它們的差，要求這，叫做和差應用題。

　　解答方法是：

　　（和+差）÷2＝大數

　　（和-差）÷2＝小數

　　例1、果園里有蘋果樹和梨樹共308棵，蘋果樹比梨樹多48棵。蘋果樹和梨樹各有多少棵？

　　例2、甲乙兩倉共存貨物1630噸。如果從甲倉調出6噸放入乙倉，甲倉的貨物比乙倉的貨物還多10噸。甲乙兩倉原來各有貨物多少噸？

　　從甲倉調出6噸放入乙倉，甲倉的貨物比乙倉的貨物還多10噸，可知原來兩倉貨物相差6×2+10=22噸，由此，可根據兩倉貨物的和與差，求得兩倉原有貨物的噸數。

　　例3、某公司甲班和乙班共有工作人員94人，因工作需要臨時從乙班調46人到甲班工作，這時，乙班比甲班少12人，原來甲班和乙班各有工作人員多少人？

　　總人數不變。即原來和現在兩班工作人員的和都是94人。現在兩班人數相差12人。

　　要求原來甲班和乙班各有工作人員多少人，先要求現在甲班和乙班各有工作人員多少人？

　　1、現在甲班有工作人員多少人

　　(94+12)÷2=53人

　　2、現在乙班有工作人員多少人

　　(94-12)÷2=41人

　　3、原來甲班有工作人員多少人

　　53-46=7人

　　4、原來乙班有工作人員多少人

　　41+46=87人

　　例4、甲乙丙三人共裝訂同一種書刊508本。甲比乙多裝訂42本，乙比丙多裝訂26本。他們三人各裝訂多少本？

　　先確定一個人的裝訂本數為標準。如果我們選定乙的裝訂本數為標準，從總數508中減去甲比乙多裝訂4的2本，加上丙比乙少裝訂的26本，得到的就是乙裝訂本數的3倍。由此，可求得乙裝訂的本數。

　　乙：

　　(508-42+26)÷3=164本

　　甲丙略

　　例5、三輛汽車共運磚9800塊，第一輛汽車比其余兩車運的總數少1400塊，第二輛比第三輛汽車多運200塊。三輛汽車各運磚多少塊？

　　根據“三輛汽車共運磚9800塊”和“第一輛汽車比其余兩車運的總數少1400塊”，可求得第一輛汽車和其余兩車各運磚多少塊。

　　根據“其余兩車共運磚塊數”和“第二輛比第三輛汽車多運200塊”可求得第二輛和第三輛各運磚多少塊。

　　1、第一輛：

　　(9800-1400)÷2=4200塊

　　2、第二輛和第三輛共運磚塊數：

　　9800-4200=5600塊

　　3、第二輛：

　　(5600+200)÷2=2900塊

　　4、第三輛：

　　5600-2900=2700塊

　　例6、甲乙丙三人合做零件230個。已知甲乙兩人做的總數比丙多38個；甲丙兩人做的總數比乙多74個。三人各做零件多少個？

　　先把跽兩人做的零件總數看成一個數，從而求出丙做零件的個數，再把甲丙兩人做的零件總數看作一個數，從而求出乙做零件的個數。

　　丙：(230-38)÷2=96個

　　乙：(230-38)÷2=78個

　　甲略

　　例7、一列客車長280米，一列貨車長200米，在平行的軌道上相向而行，兩車從兩車頭相遇到兩車尾相離共經過15秒；兩列車在平行軌道上同向而行，貨車在前，客車在后，從兩車相遇(貨車車尾和客車車頭)到兩車相離(貨車車頭和客車車尾)經過2分鐘。兩列車的速度各是多少？

　　由相向而行從相遇到相離經過15秒，可求得兩列車的速度和(280+200)÷15；由同向而行從相遇到相離經過2分鐘，可求得兩列車的速度差(280-200)÷(60×2)。從而求得兩列車的速度。

　　例8、五年級三個班共有學生148人。如果把1班的3名學生調到2班，兩班人數相等；如果把2班的1名學生調到3班，3班還比2班少3人。三個班原來各有學生多少人？

　　由“如果把1班的3名學生調到2班，兩班人數相等”，可知，1班學生人數比2班多3×2=6人；由“如果把2班的1名學生調到3班，3班還比2班少3人”可知，2班學生人數比3班多1×2+3=5人。如果確定以2班學生人數為標準，由“三個班共有學生148人”和“1班學生人數比2班多3×2=6人，2班學生人數比3班多1×2+3=5人”可先求得2班的學生人數。

　　(148-3×2+1×2+3)÷3=49人……2班

　　甲丙班略

　　文檔頂端

　　已知兩人的年齡，求他們之間的某種數量關系；或已知兩人年齡之間的數量關系，求他們的年齡等，這類問題叫做年齡應用題問題。

　　年齡問題的主要特點是：大小年齡差是個不變量。差是定值的兩個量，隨時間的變化，倍數關系也會發生變化。

　　這類應用題往往是和差應用題、和倍應用題、差倍應用題的綜合應用。

　　例1、小方今年11歲，他爸爸今年43歲，幾年以后，爸爸的年齡是小方年齡的3倍？

　　因為小方與爸爸的年齡差43-11=32不變。以幾年后小方的年齡為1份數，爸爸的年齡就是3份的數。根據差倍應用題的解法，可求出小方幾年后的年齡。

　　(43-11)÷(3-1)=16歲

　　16-11=5年

　　例2、媽媽今年比兒子大24歲，4年后媽媽年齡是兒子的5倍。今年兒子幾歲？

　　“媽媽今年比兒子大24歲“，4年后也同樣大24歲，根據差倍應用題的解法，可求得4年后兒子的年齡，進而求得今年兒子的年齡。

　　24÷(5-1)-4=2歲

　　例3、今年甲乙兩人年齡和為50歲，再過5年，甲的年齡是乙的4倍。今年甲乙兩人各幾歲？

　　今年甲乙兩人年齡和為50歲，再過5年，兩人的年齡和是50+5×2=60歲。根據和倍應用題的解法。可求得5年后乙的年齡，從而求得今年乙的年齡和甲的年齡。

　　例4、小高5年前的年齡等于小王7年后的年齡。小高4年后與小王3年前的年齡和是35歲。今年兩人各是多少歲？

　　由“小高5年前的年齡等于小王7年后的年齡“可知，小高比小王大5+7歲；他們倆今年年齡的和為：35+3-4=30歲，根據和差應用題的解法，可求得今年兩人各是多少歲。

　　由第一個條件可知，小高比小王在5+7＝12歲。由第二個條件可知，他們的年齡和為35+3-4＝34歲。文檔頂端

　　“根據兩個差求未知數”是指分析問題的思考方法。“兩個差”是指題目中有這樣的數量關系。例如：總量之差與單位量之差；時間之差與速度之差或距離之差等等。解題時可以找出題目中的兩個差，再根據兩個這間的相應關系使總量得到解決。

　　例1、百貨商場上午賣出洗衣機8臺，下午賣出同樣的洗衣機12臺，下午比上午多收售貨款6600元，每臺洗衣機售價多少元？

　　6600÷(12-8)=1650元

　　例2、一輛汽車上午行駛120千米，下午行駛210千米。下午比上午多行駛1.5小時。平均每小時行駛多少千米？

　　(210-120)÷1.5=60千米

　　例3、新建一個圖書室和一個辦公室。室內地面共有234平方米。已知辦公室比圖書室小54平方米。用同樣的磚鋪地，圖書室比辦公室多用864塊。圖書室和辦公室地面各用磚多少塊？

　　由“辦公室比圖書室小54平方米”和“圖書室比辦公室多用864塊”可求得“平均每平方米需用磚多少塊”；由“室內地面共有234平方米”和“辦公室比圖書室小54平方米”，可求得“”。從而求得各用磚多少塊。

　　例4、甲乙兩人同時從東村出發去西村，甲每分鐘行76米，乙每分鐘行68米。到達西村時，乙比甲多用了4分鐘。東西兩村間的路程是多少米？

　　甲乙兩人同時從東村出發，當甲到達西村時，乙距西村還有4分鐘的路程。乙每分鐘行68米，4分鐘能行68×4=272米。也就是說，在相同的時間內，甲比乙多行272米。這是路程這差。每分鐘甲比慚多行76-68=8米，這是速度這差。根據這兩個差，可以求出甲走完全程所用的時間，從而求得兩村之間的路程。

　　76×［68×4÷(76-68)］=2584米

　　例5、冰箱廠原計劃每天生產電冰箱40臺，改進工藝后，實際每天比原計劃多生產5臺這樣，提前2天完成了這批生產任務外，還比原計劃多生產了35臺。實際生產電冰箱多少臺？

　　要求“實際生產電冰箱多少臺”，需要知道“實際每天生產多少臺”和“實際生產了多少天”。

　　如果實際上再生產 2 天后話，還能生產(40+5)×2=90臺，雙知比原計劃還多生產35臺，實際上比原計劃多生產了90+35=125臺，這是一個總量之差。又知實際每天比原計劃多生產5臺，這是生產效率之差。根據這兩個差可以求出原計劃生產的天數。從而求得實際生產電冰箱的臺數

　　40×{［(40+5)×2+35］÷5}+35=1035臺

　　例6、食品廠運來一批煤，原計劃每天生產480千克，燒了預定的時間后，還剩下1680千克；改進燒煤方法后，實際每天燒400千克，燒了同樣的時間后，還剩下4080千克。這批煤共有多少千克？

　　要求這批煤共有多少千克，先要求出預定燒的天數。計劃燒后還剩1680千克，實際燒后還剩4080千克可求得實際比墳墓多剩多少千克，這是剩下總量之差，實際每天燒400千克，計劃每天燒480千克，可求得每天燒煤量之差。根據這兩個差，可求得燒了多少天。進而可求得燒了多少千克，這批煤共有多少千克。

　　400×［(4080-1680)÷(480-400)］+4080=16080千克

　　文檔頂端

　　有關栽樹以及與栽樹相似的一類應用題，叫做植樹問題。植樹問題通常有兩種形式。一種是在不封閉的線路上植樹，另一種是在封閉的線路上植樹。

　　1、不封閉線路上植樹

　　如果在一條不封閉的線路上可不可能，而且兩端都植樹，那么，植樹的棵數比段數多。其數量關系如下：

　　棵數＝總長÷株距+1

　　總長＝株距×（棵數-1）

　　株距＝總長÷（棵數-1）

　　2、在封閉的線路上植樹，那么植樹的棵數與段數相等。其數量關系如下：

　　棵數＝總長÷株距

　　總長＝株距×棵數

　　株距＝總長÷棵數

　　例1、有一條公路全長500米，從頭至尾每隔5米種一棵松樹。可種松樹多少棵？

　　500÷5 +1=101棵

　　例2、從校門口到街口，一共插有30面紅旗，相鄰兩面紅旗相隔6米。從校門口到街口長多少米？

　　6×(30-1)=174米

　　例3、在一條長150米的大路兩旁各栽一行樹，起點和終點都栽，一共栽了102棵。每相鄰兩棵樹之間的距離相等。相鄰兩棵樹之間的距離有多少米？

　　150÷(102÷2-1)=3米

　　例4、在一個周長為600米的池塘周圍植樹，每隔10米栽一棵楊樹，在相鄰兩棵楊樹之間每隔2米栽1棵柳樹。楊樹和柳樹各栽了多少棵？

　　根據“棵數=總長÷株距”，可以求出楊樹的棵數

　　在每兩棵楊樹之間可分為10÷2=5段，栽柳樹4-1=4棵。由此，可以求得柳樹的棵數。

　　楊樹：600÷10=60棵

　　柳樹：(10÷2-1)×60=240棵

　　例5、一條馬路一側，原有木電線桿97根，每相鄰的兩根相距40米。現在計劃全部換用大型水泥電線桿，每相鄰兩根相距60米。需要大型水泥電線桿多少根？

　　1、這條路全長多少米

　　40×(97-1)=3840米

　　2、需要大型水泥電線桿多少根

　　3840÷60+1=65根

　　例6、一座大橋長200米，計劃在大橋兩側的欄桿上共安裝32塊圖案，每塊圖案長2米，靠近橋兩端的圖案離橋端10.5米。相鄰兩圖案之間的距離是多少米？

　　在橋兩側共裝32塊圖案，即每側裝16塊，圖案之間的間隔有16-1=15個。用總長減去16塊圖案的距離就可以知道15個間隔的長度。

　　［200-2×(32÷2)-10.5×2］÷(32÷2-1)

　　文檔頂端相向運動問題同向運動問題（追及問題）背向運動問題（相離問題）

　　在行車、行船、行走時，按照速度、時間和距離之間的相依關系，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題，叫做行程應用題。也叫行程問題。

　　行程應用題的解題關鍵是掌握速度、時間、距離之間的數量關系：

　　距離＝速度×時間

　　速度＝距離÷時間

　　時間＝距離÷速度

　　按運動方向，行程問題可以分成三類：

　　1、相向運動問題（相遇問題）

　　2、同向運動問題（追及問題）

　　3、背向運動問題（相離問題）

　　十、行程應用題

　　相向運動問題（相遇問題），是指地點不同、方向相對所形成的一種行程問題。兩個運動物體由于相向運動而相遇。

　　解答相遇問題的關鍵，是求出兩個運動物體的速度之和。

　　基本公式有：

　　兩地距離＝速度和×相遇時間

　　相遇時間＝兩地距離÷速度和

　　速度和＝兩地距離÷相遇時間

　　例1、兩列火車同時從相距540千米的甲乙兩地相向而行，經過3.6小時相遇。已知客車每小時行80千米，貨車每小時行多少千米？

　　例2、兩城市相距138千米，甲乙兩人騎自行車分別從兩城出發，相向而行。甲每小時行13千米，乙每小時行12千米，乙在行進中因修車候車耽誤1小時，然后繼續行進，與甲相遇。求從出發到相遇經過幾小時？

　　因為乙在行進中耽誤1小時。而甲沒有停止，繼續行進。也可以說，甲比乙多行1小時。如果從總路程中把甲單獨行進的路程減去，余下的路程就是跽兩人共同行進的。

　　(138-13)÷(13+12)+1=6小時

　　例3、計劃開鑿一條長158米的隧道。甲乙兩個工程隊從山的兩邊同時動工，甲隊每天挖2.5米，乙隊每天挖進1.5米。35天后，甲隊調往其他工地，剩下的由乙隊單獨開鑿，還要多少天才能打通隧道？

　　要求剩下的乙隊開鑿的天數，需要知道剩下的工作量和乙隊每天的挖進速度。

　　要求剩下的工作量，要先求兩隊的挖進速度的和，35天挖進的總米數，然后求得剩下的工作量。

　　［158-(2.5+1.5)×35］÷1.5=12天

　　例4、一列客車每小時行95千米，一列貨車每小時的速度比客車慢14千米。兩車分別從甲乙兩城開出，1.5小時后兩車相距46.5千米。甲乙兩城之間的鐵路長多少千米？

　　已知1.5小時后兩車還相距46.5千米，要求甲乙兩城之間的鐵路長，需要知道1.5小時兩車行了多少千米？要求1.5小時兩車共行了多少千米。需要知道兩車的速度。

　　(95-14+95)×1.5+46.5=310.5千米

　　例5、客車從甲地到乙地需8小時，貨車從乙地到甲地需10小時，兩車分別從甲乙兩地同時相向開出。客車中途因故停開2小時后繼續行駛，貨車從出發到相遇共用多少小時？

　　假設客車一出發即發生故障，且停開2小時后才出發，這時貨車已行了全程的 ×2= ，剩下全程的1- = ，由兩車共同行駛。

　　(1- ×2)÷( - )+2= 小時

　　例6、甲乙兩地相距504千米，一輛貨車和一輛客車分別從兩地相對開出。貨車每小時行72千米，客車每小時行56千米。如果要使兩車在甲乙兩地中間相遇，客車需要提前幾小時出發？

　　要求“如果要使兩車在甲乙兩地中間相遇，客車需要提前幾小時出發”要先求出貨車和客車行一半路程各需要多少小時。

　　1、貨車行至兩地中間需要多少小時。

　　504÷2÷72=3.5小時

　　2、客車行至兩地中間需要多少小時。

　　504÷2÷56=4.5小時

　　3、客車要提前幾小時出發？

　　4.5-3.5=1小時

　　例7、甲乙兩人分別以均勻速度從東西兩村同時相向而行，在離東村36千米處相遇。后繼續前進，到達西村后及時返回，又在離東村54千米處相遇，東西兩村相距多少千米？

　　36千米

　　54千米

　　兩人第一次相遇，合走了一個全程，第二次相遇，2合走了3個全程。

　　兩人合走了3個全程時，甲走了兩個全程少54千米。

　　(36×3+54)÷2=81千米

　　例8、甲從A地到B地需5小時，乙從B地到A地，速度是甲的。現在甲乙兩人分別從AB兩地同時出發，相向而行，在途中相遇后繼續前進。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他們在途中又一次相遇。兩次相遇點相距72千米。AB兩地相距多少千米？

　　要求AB兩地相距多少千米，關鍵是找出兩次相遇點的距離占全程的幾分之幾

　　1、甲每小時行全程的幾分之幾

　　1÷5=

　　2、乙每小時行全程的幾分之幾

　　× =

　　3、第一次相遇用了多少小時

　　1÷( + )=

　　4、兩人合行了2個全程，甲行了全程的幾分之幾

　　× ×2=

　　5、兩人合行了2個全程，乙行了全程的幾分之幾

　　× ×2=

　　6、兩次相遇點的距離占全程的幾分之幾十、行程應用題

　　兩個運動物體同向而行，一快一慢，慢在前快在后，經過一定時間快的追上慢的，稱為追及。

　　解答追及問題的關鍵，是求出兩個運動物體的速度之差。基本公式有：

　　追及距離＝速度差×追及時間

　　追及時間＝追及距離÷速度差

　　速度差＝追及距離÷追及時間

　　例1、甲乙兩人在相距12千米的AB兩地同時出發，同向而行。甲步行每小時行4千米，乙騎車在后面，每小時速度是甲的3倍。幾小時后乙能追上甲？

　　12÷(4×3-4)=1.5小時

　　例2、一個通訊員騎摩托車追趕前面部隊乘的汽車。汽車每小時行48千米，摩托車每小時行60千米。通訊員出發后2小時追上汽車。通訊員出發的時候和部隊乘的汽車相距多少千米？

　　要求距離差，需要知道速度差和追及時間。

　　距離差=速度差×追及時間

　　(60-48)×2=24千米

　　例3、一個人從甲村步行去乙村，每分鐘行80米。他出發以后25分鐘，另一個人騎自行車追他，10分鐘追上。騎自行車的人每分鐘行多少米？

　　要求“騎自行車的人每分鐘行多少米”，需要知道“兩人的速度差”；要求“兩人的速度差”需要知道距離差和追及時間

　　80×25÷10+80=280米

　　例4、甲乙兩人從學校步行到少年宮。甲要走20分鐘，乙要走30分鐘。如果乙先走5分鐘，甲需要幾分鐘才能追上乙？

　　×5÷( - )-10分鐘

　　例5、甲乙兩人騎自行車同時從學校出發，同方向前進，甲每小時行15千米，乙每小時行10千米。出發半小時后，甲因事又返回學校，到學校后又耽擱1小時，然后動身追乙。幾小時后可追上乙？

　　先要求得甲先后共耽擱了多少小時，甲開始追時，兩人相距多少千米

　　10×(0.5×2+1)÷(15-10)=4小時

　　例6、甲乙丙三人都從甲地到乙地。早上六點甲乙兩人一起從甲地出發，甲每小時行5千米，乙每小時行4千米。丙上午八點才從甲地出發，傍晚六點，甲、丙同時到達乙地。問丙什么時候追上乙？

　　要求“兩追上乙的時間”，需要知道“丙與乙的距離差”和“速度差”。

　　要先求丙每小時行多少千米，再求丙追上乙要多少時間

　　1、丙行了多少小時

　　18-8=10小時

　　2、丙每小時比甲多行多少千米

　　5×2÷10=1千米

　　3、丙每小時行多少千米

　　5+1=6千米

　　4、丙追上乙要用多少小時

　　4×2÷(6-4)=4小時

　　例7、快中慢三輛車同時從同一地點出發，沿著同一條公路追趕前面的一個騎車人。這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人。現在知道快車每小時行24千米，中車每小時行20千米，那么慢車每小時行多少千米？

　　快中慢三輛車出發時與騎車人的距離相同，根據快車和中車追上騎車人的路程差和時間差可求得騎車人的速度，進而求慢車每小時行多少千米。

　　單位換算略。6分鐘= 小時 10分鐘= 小時 12分鐘= 小時

　　1、快車小時行多少千米

　　24× =2.4千米

　　2、中車小時行多少千米

　　20× = 千米

　　3、騎車人每小時行多少千米

　　( -2.4)÷( - )=14千米

　　4、慢車每小時行多少千米

　　(20-14)× ÷ +14=19千米

　　例8、甲乙兩人步行速度的經是7：5，甲乙兩人分別由AB兩地同時出發，如果相向而行，0.5小時相遇；如果他們同向而行，那么甲追上乙需要多少小時？

　　設具體數解題。

　　設甲乙兩人步行的速度分別為每小時7千米和5千米。

　　由相向而行，可求得AB兩地韹距離，進而由速度差，求得追及時間。

　　1、 AB之間的路程是多少千米

　　(7+5)×0.5=6千米

　　2、甲追上乙要多少小時

　　6÷(7-5)=3小時

　　十、行程應用題

　　背向運動問題（相離問題），是指地點相同或不同，方向相反的一種行程問題。兩個運動物體由于背向運動而相離。

　　解答背向運動問題的關鍵，是求出兩個運動物體共同走的距離（速度和）。基本公式有：

　　兩地距離＝速度和×相離時間

　　相離時間＝兩地距離÷速度和

　　速度和＝兩地距離÷相離時間

　　例1、甲乙兩車同時同地相反方向開出，甲車每小時行40千米，乙車乙車每小時快5.5千米。4小時后，兩車相距多少千米？

　　例2、甲乙兩車從AB兩地的中點同時相背而行。甲車以每小時40千米的速度行駛，到達A地后又以原來的速度立即返回，甲車到達A地時，乙車離B地還有40千米。乙車加快速度繼續行駛，到達B地后也立即返回，又用了7.5小時回到中點，這時甲車離中點還有20千米。乙車加快速度后，每小時行多少千米？

　　乙車在7.5小時內行駛了（40×7.5+40+20）千米的路程，這樣可以求得乙車加快后的速度。

　　（40×7.5+40+20）÷7.5＝48（千米）

　　例3、甲乙兩車同時同地同向而行，3小時后甲車在乙車前方15千米處；如果兩車同時同地背向而行，2小時后相距150千米。甲乙兩車每小時各行多少千米？

　　根據“3小時后甲車在乙車前方15千米處”，可求得兩車的速度差；根據“兩車同時同地背向而行，2小時后相距150千米”，可求得兩車的速度和。從而求得甲乙兩車的速度（和差問題）

　　文檔頂端

　　流水問題就是船在水中航行的行程問題。它有幾種速度：

　　靜水速度，船本身的速度，即船在靜水中航行的速度。

　　水流速度，水流動的速度，即沒有外力的作用水中漂浮的速度。

　　順水速度，當船航行方向與水流方向一致時的速度。

　　逆水速度，當船航行方向與水流方向相反時的速度。

　　它們的關系如下：

　　順水速度＝靜水速度+水流速度

　　逆水速度=靜水速度–水流速度

　　例1、兩碼頭相距108千米，一艘客輪順水行完全程需要10小時，逆水行完全程需要12小時。求這艘客輪的靜水速度和水流速度。

　　1、順水速度：108÷10=10.8千米

　　2、逆水速度：108÷12=9千米

　　3、靜水速度：(10.8–9)÷2=9.9千米

　　例2、一客輪順水航行320千米需要8小時，水流速度每小時5千米。逆水每小時航行多少千米？這一客輪逆水行完全程，需要用幾小時？

　　要求逆水速度，需要知道順水速度和水流速度；知道了逆水速度，就可求得行完全程所需時間。

　　1、順水速度：320÷8=40千米

　　2、逆水速度：40-15×2=10千米

　　3、逆水行完全程，需用幾小時：320÷10=32小時

　　例3、某往返于甲乙兩港，順水航行每小時行15千米；逆水航行每小時行12千米，已知順水行完全程比逆水少用2小時，求甲乙兩港的距離。

　　順水行完全程比逆水少用2小時,就是說，逆水行完全程多用2小時。行完全程逆水比順水12×2=24千米。順水每小時比逆水快15-12=3千米，由此，求得順水行完全程所需時間，進而求得兩港的距離。

　　15×［12×2÷(15–12)］=120千米

　　例4、甲船逆水航行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水航行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少小時？

　　由題中甲船逆水、順水航行的距離和時間，可以求得甲船速度與水速的和及差，從而可以求出水速。

　　由乙船逆水航行的距離和時間，可以求得乙船在逆水中的速度；由乙船逆水速度水速可以求得乙船順水速度，從而求得乙船返回原地需要的時間。

　　1、甲船的順水速度

　　360÷10=36千米

　　2、甲船的逆水速度

　　360÷18=20千米

　　3、水流速度

　　(36-20)÷2=8千米

　　4、乙船逆水速度

　　360÷15=24千米

　　5、乙船順水速度

　　24+8×2=40千米

　　6、乙船返回原地時間

　　360÷40=9小時

　　例5、 AB兩港相距120千米，甲乙兩船從AB兩港相向而行6小時后相遇。甲船順水航行，甲船比乙船多行48千米，水速每小時1.5千米。求甲乙兩船的靜水速度。

　　要求甲乙兩船的靜水速度，只需求出甲乙兩船的靜水速度的和與靜水速度的差。

　　1、甲船順水速度與乙船逆水速度的和

　　120÷6=20千米

　　2、甲乙兩船靜水速度的和

　　甲順水速度+乙逆水速度=(甲靜水速度+1.5)+(乙靜水速度-1.5)= 甲靜水速度+乙靜水速度=20千米

　　3、甲船順水速度與乙船逆水速度的差

　　48÷6=8千米

　　4、甲乙兩船靜水速度的差

　　甲順速-乙逆速=(甲靜速+1.5)-(乙靜速-1.5)=甲靜速-乙靜速+1.5×2=8

　　甲靜速-乙靜速、8-1.5×2=5千米

　　5、甲船的靜水速度。

　　(20+5)÷2=12.5千米

　　6、乙船的靜水速度

　　(20-5)÷2=7.5千米

　　文檔頂端

　　把一定數量的東西平均分配，如果多分，東西不足；少分，東西有余。分物時出現盈(有余)、虧(不足)或盡(剛好分完)幾種情況，這類問題叫做盈虧問題。

　　解答盈虧問題有下列幾個公式：

　　1、一盈一虧類

　　(盈數+虧數)÷再次分物數量差=分物對象的個數

　　2、一盈一盡類

　　盈數÷兩次分物數量的個數=分物對象的個數

　　3、一虧一盡類

　　虧數÷兩次分物數數量差=分物對象的個數

　　4、兩盈類

　　(大盈數–小盈數)÷兩次分物數量差=分物對象的個數

　　例1、同學們去劃船。如果每條船坐5人，有14人沒有座位；如果每條船坐7人，多4個空位。問有多少條船？學生多少人？

　　比較一下兩次安排，第一次有14人沒有座位，第二次又多4個座位，一盈一虧。兩次相差14+4=18人。

　　這18人是由于第二次安排時每條船比第一次多坐7-5=2人，多出18人有幾條船呢？

　　(14+4)÷(7-5)=9條

　　5×9+14=59人

　　或7×9-4=49人

　　例2、學校分配宿舍，每個房間住3人，則多出20人；每個房間住5人，剛好安排好。部有房間多少個？學生多少人？

　　比較一下兩次安排，第一次多出20人，第二次剛好，兩次相差20人。這20人是疏于第二次安排時，每個房間比第一次多住5-3=2人

　　例3、學校買來一批新書。如果每人借5本則少150本；如果每人借3本則少70本。借書的學生有多少人？買來新書多少本？

　　(150-70)÷(5-3)=40人

　　5×40-150=50本

　　例4、猴子分桃子。每只小猴分5個還多23個；每只小猴分9個還多3個。這堆桃子有多少個？小猴有多少只？

　　(23-3)÷(9-5)=5只

　　9×5+3=48個

　　例5、一列火車裝運一批貨物，原計劃每節車皮裝46噸，結果有100噸貨物沒有裝上去；后來改進裝車方法，使每節車皮多裝4噸，結果把這批貨物全部裝完，而且還剩下兩節空車皮。問這列火車有多少節車皮？這批貨物有多少噸？

　　［100+(46+4)×2］÷4=50節……車皮

　　46×50+100=2400噸……貨物

　　例6、把許多橘子分給一些小朋友。如果其中3人，每人分給3只，其余小朋友每人分給3只，還余9只；如果其中2人分給3只，其余小朋友每人分給5只，恰好分盡。問橘子有多少只？小朋友有多少人？

　　將第一種分配方案轉述為：每人分3只，還多(4-3)×3+9=12只；將第二種分配方案轉述為：每人分5只，還少5-3=2只。

　　1、每人分3只，還多多少只？

　　(4-3)×3+9=12只

　　2、每人分5只，還少多少只？

　　5-3=2只

　　3、小朋友有多少人

　　(12+2)÷(5-3)=7人

　　4、橘子有多少只

　　4×3+3×(7-3)+9=33只

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　　已知大小不相等的兩部分，移多補少使兩部分同樣多的應用題，叫做差額平分問題。

　　通常的解答方法是：先求出兩部分數量的差(差額)，再將其差平均分成兩份，取其中一份，使兩部分相等。

　　例1、有甲乙兩個書架。甲書架上有書940本，乙書架上有書1280本。要使兩書架上書的本數相等，應從乙書架取多少本書放入甲書架？

　　先求出乙書架上的書比甲書架多多少本。再把差額平分成兩份。

　　(1280-940)÷2=170

　　例2、一班有學生52人，調6人到二班，兩個班的學生人數相等。二班原來有學生多少人？

　　由“調6人到二班，兩個班的學生人數相等”，可知，原來一班比二班多6×2=12人。由此求得二班原有人數。

　　52-6×2=40人

　　例3、甲倉有大米1584袋，乙倉有大米858袋，每天從甲倉運33袋到乙倉，幾天后兩倉的大米袋數相等？

　　要求“要運多少天”，先要求甲倉總共要運多少大米到乙倉，再求每天運33袋，要運多少天>

　　(1584-858)÷2÷33=11天

　　例4、甲乙丙三個組各拿出相等的錢去習同樣的數學書。分配時，甲組要22本，乙組要23本，丙組要30本。因此，丙組還給甲組13.5元，丙組還要還給乙組多少元？

　　先要求平均時，各組應分得多少本，甲組少分了多少本，乙組少分了多少本。每本多少元，然后再求丙組還要給乙組多少元。

　　1、平均分時，各組應得多少本

　　(22+23+30)÷3=25本

　　2、甲少分了多少本

　　25-22=3本

　　3、乙少分了多少本

　　25-23=2本

　　4、每本多少元

　　13.5÷3=4.5元

　　5、丙組還應給乙組多少元

　　4.5×2=9元

　　例5、、甲乙丙三校合買一批樹苗。分配時，甲校比乙丙兩校多分60棵，因此，甲校還給乙、丙兩校各160元。每棵樹苗多少元？

　　1、乙丙兩校各少分了多少棵

　　60÷3=20棵

　　2、每棵樹苗多少元

　　160÷20=8元

　　例6、甲倉有糧食100噸，乙倉有糧食20噸。從甲倉調多少噸糧食到乙倉，乙倉的糧食是甲倉的2倍？

　　要求“從甲倉調多少噸糧食到乙倉，乙倉的糧食是甲倉的2倍”，需要知道“調糧后甲倉有多少噸”。

　　兩倉一共有存糧多少噸，乙倉是甲倉的2倍，根據和倍應用題的解答方法，可求得調糧后甲倉有糧多少噸？再求要調出糧食多少噸。

　　1、兩倉共有糧食多少噸

　　100+20=120噸

　　2、調糧后甲倉有糧多少噸

　　120÷(2+1)=40噸

　　3、甲倉要調出多少噸到乙倉

　　100-40=60噸

　　100-(100+20) ÷(2+1) =60噸

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　　糖與糖水重量的比值叫做糖水的濃度；鹽與鹽水的重量的比值叫做鹽水的濃度。我們習慣上把糖、鹽、叫做溶質(被溶解的物質)，把溶解這些物質的液體，如水、汽油等叫做溶劑。把溶質和溶劑混合成的液體，如糖水、鹽水等叫做溶液。

　　一些與濃度的有關的應用題，叫做濃度問題。

　　濃度問題有下面關系式：

　　濃度=溶質質量÷溶液質量

　　溶質質量=溶液質量×濃度

　　溶液質量=溶質質量÷濃度

　　溶液質量=溶質質量+溶劑質量

　　溶劑質量=溶液重量×(1–濃度)

　　例1、濃度為25％的鹽水120千克，要稀釋成濃度為10％的鹽水，應該怎樣做？

　　加水稀釋后，含鹽量不變。所以要先求出含鹽量，再根據含鹽量求得稀釋后鹽水的重量，進而求得應加水多少克。

　　120×25％÷10％-120=180克

　　例2、濃度為70％的酒精溶液500克與濃度為50％酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少？

　　要求混合后的溶液濃度，需要知道混合后溶液的總重量及所含純酒精的重量。

　　(500×70％+300×50％)÷(500+300)=62.5％

　　例3、有含鹽8％的鹽水40千克，要配制含鹽20％的鹽水100千克需加水和鹽各多少千克？

　　根據“要配制含鹽20％的鹽水100千克”可求得新的鹽水中鹽和水的重量。

　　加鹽多少千克：100×20％-40×8％=16.8千克

　　例4、從裝滿100克濃度為80％的鹽水杯中倒出40克鹽水后，再倒入清水將倒滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再倒入清水將杯倒滿。這樣重復三次后，杯中鹽水的濃度是多少？

　　最后杯中鹽水的的重量仍為100克，因此只需要求出最后鹽水中含有多少鹽，就可求得最后鹽水的濃度。要求剩下的鹽，需要求出三次倒出的鹽水中含有多少鹽，每次倒出的鹽水雖然都是40克，但是由于濃度不同，所以含鹽量不相同。

　　1、原來杯中鹽水含鹽多少克？

　　100×80％=80克

　　2、第一次倒出的鹽水中含鹽多少克？

　　40×80％=32克

　　3、加滿清水后，鹽水濃度為多少？

　　(80-32)÷100=48％

　　4、第二次倒出的鹽水中含鹽多少克？

　　40×48％=19.2克

　　5、加滿清水后，鹽水濃度為多少？

　　（80-32-19.2）÷100＝28.8％

　　6、第三次倒出的鹽水中含鹽多少克？

　　40×28.8％＝11.52克

　　7、加滿清水后，鹽水濃度為多少？

　　（80-32-19.2-11.52）÷100＝17.28％

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　　應用最大公約數與最小公倍數方法求解的應用題，叫做公約數與人數公倍數問題。

　　解題的關鍵是先求出幾個數的最大公約數或最小公倍數，然后按題意解答要求的問題。

　　例1、有三根鐵絲，一佷長18米，一根長24米，一根長30米。現在要把它們截成同樣長的小段。每段最長可以有幾米？一共可以截成多少段？

　　截成的小段一定是18、24、30的最大公約數。先求這三個數的最大公約數，再求一共可以截成多少段。

　　（18、24、30）＝6

　　（18+24+30）÷6＝12段

　　例2、一張長方形紙，長60厘米，寬36厘米，要把它截成同樣大小的長方形，并使它們的面積盡可能大，截完后又正好沒有剩余，正方形的邊長可以是多少厘米？能截多少正方形？

　　要使截成的正方形面積盡可能大，也就是說，正方形的邊長要盡可能大，截完后又正好沒有剩余，這樣正方形邊長一定是60和36的最大公約數。

　　（36、60）＝12

　　（60÷12）×（36÷12）＝15個

　　例3、用96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每個花束里的紅玫瑰花的朵數相同，白玫瑰花的朵數也相同，最多可以做多少個花束？每個花束里至少要有幾朵花？

　　要把96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束，每束花里的紅白花朵數同樣多，那么做成花束的的個數一定是96和72的公約數，又要求花束的個數要最多，所以花束的個數應是96和72的最大公約數＞

　　1、最多可以做多少個花束

　　（96、72）＝24

　　2、每個花束里有幾朵紅玫瑰花

　　96÷24＝4朵

　　3、每個花束里有幾朵白玫瑰花

　　72÷24＝3朵

　　4、每個花束里最少有幾朵花

　　4+3＝7朵

　　例4、公共汽車站有三路汽車通往不同的地方。第一路車每隔5分鐘發車一次，第二路車每隔10分鐘發車一次，第三路車每隔6分鐘發車一次。三路汽車在同一時間發車以后，最少過多少分鐘再同時發車？

　　這個時間一定是5的倍數、10的倍數、6的倍數，也就是說是5、10和6的公倍數，“最少多少時間”，那么，一定是5、10、6的最小公倍數。

　　［5、10、6］＝30

　　例5、某廠加工一種零件要經過三道工序。第一道工序每個工人每小時可完成3個；第二道工序每個工人每小時可完12個；第三道工序每個工人每小時可完成5個。要使流水線能正常生產，各道工序每小時至少安適幾個工人最合理？

　　安排每道工序人力時，應使每道工序在相同的時間內完成同樣多的零件個數。這個零件個數一定是每道工序每人每小時完成零件個數的公倍數。至少安排的人數，一定是每道工序每人每小時完成零件個數的最小公倍數。

　　1、在相同的時間內，每道工序完成相等的零件個數至少是多少？

　　［3、12、5］＝60

　　2、第一道工序應安排多少人

　　60÷3＝20人

　　3、第二道工序應安排多少人

　　60÷12＝5人

　　4、第三道工序應安排多少人

　　60÷5＝12人

　　例6、有一批機器零件。每12個放一盒，就多出11個；每18個放一盒，就少1個；每15個放一盒，就有7盒各多2個。這些零件總數在300至400之間。這批零件共有多少個？

　　每12個放一盒，就多出11個，就是說，這批零件的個數被12除少1個；每18個放一盒，就少1個，就是說，這批零件的個數被18除少1；每15個放一盒，就有7盒各多2個，多了2×7＝14個，應是少1個。也就是說，這批零件的個數被15除也少1個。

　　如果這批零件的個數增加1，恰好是12、18和15的公倍數。

　　1、剛好能12個、18個或15個放一盒的零件最少是多少個

　　［12、18、15］＝180

　　2、在300至400之間的180的倍數是多少

　　180×2＝360

　　3、這批零件共有多少個

　　360-1＝359個

　　例7、一個數除193余4，除1089余9。這個數最大是多少？

　　這個數除（193-4），沒有余數，這個數除（1089-9）沒有余數。這個數一定是（193-4）和（1089-9）的公約數。要求這個數最大，那么一定是這兩個數的最大公約數。

　　193-4＝189

　　1089-9＝1080

　　（189、1080）＝27

　　例8、公路上一排電線桿，共25根。每相鄰兩根間的距離原來都是45米，現在要改成60米，可以有幾根不需要移動？

　　不需要移動的電線桿，一定既是45的倍數又是60的倍數。要先求45和60的最小公倍數和這條公路的全長，再求可以有幾根不需要移動。

　　1、從第一根起至少相隔多少米的一根電線桿不需移動？

　　［45、60］＝180

　　2、全路長多少米？

　　45×（25-1）＝1080米

　　3、可以有幾根不需要移動？

　　1080÷180+1＝7米

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　　順次差1 的幾個整數叫做連續數。

　　順次差2的幾個偶數叫做連續偶數。

　　順次差2的幾個奇數叫做連續奇數。

　　已知幾個連續數的和，求這幾個連續數各是多少的應用題。叫做連續數問題。

　　連續數的每一個數叫一項。最前面的項叫首項，最后面的項叫末項，轉眼間的項叫中項。各個項數的和叫總和。

　　它的計算方法是：

　　{和–［1+2+3+……+(項數–1)］}÷項數=最小項(首項)

　　{和+［1+2+3+……+(項數–1)］}÷項數=最大項(末項)

　　總和÷項數=中間項(中項)

　　(首項+末項)×項數÷2=總和

　　例1、 7個連續自然數的和是84，這7個數各是多少？

　　可以先求最大數，也可以先求最小數，還可以先求中間數。

　　解法一：先求最大數：

　　（84+1+2+3+4+5+6）÷7＝15

　　連續的各數是：9、10、11、12、13、14、15。

　　解法二：（84－1－2－3－4－5－6）÷7＝9

　　連續的各數是：9、10、11、12、13、14、15

　　解法三：當連續數的個數是奇數時，一般可以先求中間數。

　　84÷7＝12

　　連續的各數是：9、10、11、12、13、14、15

　　例2、 6個連續偶數的和是150，這6個偶數各是多少？

　　解法一：先求最大數：（150+2+4+6+8+10）÷6＝30

　　6個連續偶數是：20、22、24、26、28、30。

　　解法二：先求最小數（150-2-4-6-8-10）＝20

　　6個連續偶數是：20、22、24、26、28、30。

　　例3、有七個連續奇數，第七個數是第二個數的3倍。求各數。

　　第七個數比第二個數大2×（7-2）＝10，第七個數是第二個數的3倍，根據“差倍應用題”的計算方法，就可先求得第二個數。

　　［2×（7-2）］÷［3-1］＝5

　　七個連續奇數是：3、5、7、9、11、13、15。

　　例4、有七張電影票，座號是連續的單號。其座號的和是49，這些票各是多少號？

　　解法一：先求最大號：

　　（49+2+4+6+8+10+12）÷7＝13

　　七個連續的單號是：1、3、5、7、9、11、13。

　　解法二：先求最小號

　　解法三先求中間號：（略）

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　　我們知道，求兩個數的和，只要直接相加就可得到結果。但是在有的情況下，卻不能直接相加，它關系到重疊部分的數量關系的問題，我們把這類問題稱為“重疊問題”。

　　解答重疊問題的關鍵是要結合圖形。在計算一個問題時，可以把總量分成幾個分量來計算，先把每個分量加起來，然后再減去重疊計算的部分。

　　例1、同學們去采集標本。采集昆蟲標本的有32人，采集花草標本的有25人，兩種標本都采集的有16人。去采集標本的共有多少人？

　　要求去采集標本的總人數，不能用32人和25人相加得到。在32人中包含有16人，在25人中也包含有16人。重復包含的16人加了兩次。所以，還要減去重復計算的16人。

　　32+25-16＝41人

　　例2、某班36個同學在一次數學測驗中，答對第一題的有25人，答對第二題的有23人，兩題都對的有15人。問有幾個同學兩題都不對？

　　要求有幾個同學兩題都不對，先要求做對其中一題的有幾人。

　　1、做對其中一題的有幾人

　　25+23-15＝33人

　　2、有幾人兩題都不對

　　36-33＝3人

　　例3、一個班有學生45人，參加體育隊的有32人，參加文藝隊的有27人，每人至少參加一個隊。問這個班兩隊都參加的有多少人？

　　32+27＝59人，總數超過了全班人數。因為有一部分同學參加了兩隊。所以只要在總數中減去全班的人數，就是兩隊都參加的人數

　　32＋27－45＝14人

　　例4、某班數學、英語期中考試的成績如下：英語得100分的有12人，數學得100分的有10人，兩門功課都得100分的有3人，兩門功課都未得100分的有26人。這個班有學生多少人？

　　26人

　　3人

　　10人

　　12人

　　全班？人

　　從圖中可以明顯地看出，兩門功課都得100分的有3人，在10人中計算了一次，在12人中又計算了一次。

　　26+（10+12-3）＝45人

　　例5、某班共有學生50人，其中35人會游泳，38人會騎自行車，40人會溜冰,46人會打乒乓球。問四項活動都會的人數至少有多少人？

　　要求四項活動都會的人數至少有多少人，首先要求出有一個項目不會的至多有多少人，然后從總人數中減去它。

　　1、不會游泳的有多少人？

　　50-35＝15人

　　2、不會騎自行車的有多少人？

　　50-38＝12人

　　3、不會溜冰的有多少人？

　　50-40＝10人

　　4、不會打乒乓球的有多少人？

　　50-46＝4人

　　5、有一個項目不會的至多有多少人？

　　15+12+10+4＝41人

　　6、四個項目都會的至少有多少人？

　　50-41＝9人

　　例6、有三個面積都是60平方厘米的圓，兩兩相交的面積分別為9、13、15平方厘米。三個圓相交部分的面積為5平方厘米。總體圖形蓋住的面積是多少平方厘米？

　　先求得三個圓面積的和，再減去兩兩相交的重疊部分。這樣三個圓相交部分的面積多減了一次，要加上它。

　　6×3-9-13-15+5＝148平方厘米

　　例7、在26名同學中會打乒乓球的有13人，會打網球的有12人，會打羽毛球的有9人，既會打乒乓球又會打羽毛球的有2人，既會打羽毛球又會打網球的有3人。但沒有人這三種球都會打，也沒有人這三種球都不會打。有多少人既會打乒乓球又會打網球？

　　設既會打乒乓球又會打網球的有X人。

　　由圖可知，只會打乒乓球的有（11-X）人；只會打網球的有（9-X）人；只會打羽毛球的有4人。一共有26人。由此可以列出方程。

　　11-X+9-X+4+X+2+3＝26

　　X＝3

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　　以鐘表上的時針和分針行走的速度、時間、距離等方面計算為內容的應用題，叫做時鐘問題。

　　時鐘問題可以理解為分針追時針的追及問題。解答這類問題的關鍵就是求“速度差”。

　　分針走60格的同時，時針只走了5格。也就是分針走一格，時針走 = 格。分針每分鐘比時針多走1– = 格。這個速度差是固定不變的。

　　例1、現在是下午4時正，5時以前時針與分針正好重合的時刻是幾時幾分？

　　這是分針追及時針的問題。4時正，分針在時針后20小格，兩針重合的時刻也就是分針追上時針的時刻。分針與時針的速度差為每分鐘1– 格。

　　20÷（1– ）＝分

　　例2、現在是下午1時，再過多少時間，時針與分針第一次成直線(反方向)？

　　時針與分針成直線時，兩針兩針之間差30格。1點鐘時，分針還在時針的后面，這時兩針不可能成直線。顯然，分針必須在越過時針后，才能出現兩針成直線的情況。也就是說，從1點起，分針必須比時針多走（5+30）＝35格

　　（5+30）÷（1- ）＝分

　　例3、 2點與3點之間，時鐘的兩針第一次成直角的時刻是幾時幾分？

　　兩針成直角時，兩針之間相差15格，2點時，分針落后時針10格，必須讓分針趕上時針，并超過時針15格，才能成直角，也就是說，分針要比時針多走10+15＝25格。

　　10+15÷（1- ）＝分

　　例4、時鐘的時針和分針由第一次成反方向開始到第二次再成反方向為止，中間一共需要多少時間？

　　第一次成反方向時，分針落后（或超過）時針30格，到第二次再成反方向時，分針必須比時針多走30+30＝60格

　　（30+30）÷（1- ）＝65 分＝1時5分秒

　　例5、 9時與10時之間，時針與分針正好成60度角，這時候的時間是多少？

　　60度即鐘盤上10格。有兩種情況：

　　1、分針與時針重合以前成60度角。9時，兩針相差45格。即分針要比時針多走45-10＝35格

　　（45-10）÷（1- ）＝分

　　2、分針與時針重合以后成60度角。分針要比時針多走45+10＝55格

　　（45+10）÷（1- ）＝60分

　　例6、兩針正好成60度角的時刻是5點40分，不需多少時間兩針第一次重合？

　　解法一：可以考慮兩針從現在時刻到第一次重合的路程差及速度差，直接求出所需時間。

　　1、兩針的路程差。

　　20+30- ×20＝格

　　2、所需時間

　　÷（1- ）＝分

　　綜合算式

　　（20+30- ×20）÷（1- ）＝分

　　解法二：

　　將問題轉化為：先求出從6時正開始到第一次重合所需時間然后加上前面的20分鐘。

　　1、從6時至兩針重合所需時間。

　　30÷（1- ）＝分

　　2、從5時40分至兩針重合所需時間

　　20+ ＝分

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　　工程問題是一種典型的分數應用題。這類應用題的特點是：題中不給出工作量的具體數量，而用整體“1”來表示；工作效率以單位時間內完成工作總量的幾分之幾來表示，而后根據工作量、工作效率、和工作時間三者的關系來解答。

　　基本數量關系式是：

　　工作量÷工作效率=工作時間

　　在運用上面數量關系進行解答時，要注意工作量必須與完成這些工作量所需要的時間相對應。

　　例1、甲乙兩隊合作某一項工程，12天可以完成；如果甲隊工作2天，乙隊工作3天，他們只能完成這項工程的20％。甲乙兩隊單獨完成這項工程，各需多少天？

　　解法一：

　　把“甲隊工作2天，乙隊工作3天，只能完成這項工程的20％”轉換成“甲乙兩隊合作2天，乙再工作1天”。

　　把這項工程看作單位“1”，甲乙合做1天可完成這項工程的，合做2天可完成這項工程的 ×2，從而求得乙的工作效率：

　　（20％- ×2）÷（3-2）＝

　　乙單獨完成這項工程的天數

　　1÷ ＝30天

　　甲隊單獨完成這項工程的天數

　　1÷（ - ）＝20天

　　解法二：

　　假定甲與乙一樣工作3天，完成的工作量為 ×3＝，這時工作量必定超過20％，超過部分 +20％，就是甲隊一天的工作量。

　　甲隊單獨完成這項工作所需時間

　　1÷（ ×3-20％）＝20天

　　乙隊單獨完成這項工作所需時間

　　1÷（ - ）＝30天

　　例2、甲乙丙三個車隊運輸一批貨物。甲乙兩個車隊在6天內運完，以后由乙丙兩個車隊合運2天，完成了余下貨物的，最后甲乙丙三個車隊合運5天才運完。甲隊、乙隊、丙隊單獨運輸這批貨物，各需多少天？

　　要求甲乙丙三隊單獨運輸，各需多少天，要設法求得甲乙丙三隊的工作效率。

　　甲乙兩隊的工作效率為 ÷6＝；

　　乙丙兩隊的工作效率為（1- ）× ÷2＝；

　　三隊合做的工作效率為（1- ）×（1- ）÷5＝。

　　由此，可求得甲隊、乙隊、丙隊的工作效率。

　　1、甲乙兩隊的工作效率

　　÷6＝

　　2、乙丙兩隊的工作效率

　　（1- ）× ÷2＝

　　3、三隊合做的工作效率

　　（1- ）×（1- ）÷5＝

　　4、甲隊單獨運完這批貨物所需天數

　　1÷（ - ）＝60天

　　5、乙隊單獨運完這批貨物所需天數

　　1÷［ -（ - ）］＝天

　　6、丙隊單獨運完這批貨物所需天數

　　1÷（ - ）＝

　　例3、一項工程，原定100人，工作90天完成；工程進行15天后，由于采用先進工具和技術，平均每人工效提高了50％。完成這項工程可提前幾天？

　　要求完成這項工程，可以提前幾天，先要求出實際所用的天數；要求實際所用的天數，先要求出完成余下的工程所用的天數。全工程原定100人90天完成，那么，平均每人每天要完成全工程的；100人工作15天完成了全工程量的 ×100×15。余下全工程的（1- ×100×15）。采用先進技術后，每人工作效率是：［ ×（1+50％）］，進而求得余下的工程所用的天數。

　　1、 100人工作15天后，還余下全工程的幾分之幾？

　　1- ×100×15＝

　　2、改進技術后，100人1天可以完成這項工程的幾分之幾？

　　×（1+50％）×100＝

　　3、余下的工程要用多少天？

　　÷ ＝50天

　　4、可提前多少天？

　　90-15-50＝25天

　　綜合算式：

　　90-15-（1- ×100×15）÷［ ×（1+50％）×100］＝25天

　　例4、有一水池，裝有甲乙兩個注水管，下面裝有丙管排水。空池時，單開甲管5分鐘可注滿；單開乙管10分鐘可注滿。水池注滿水后，單開丙管15分鐘可將水放完。如果在空池時，將甲乙丙三管齊開，2分鐘后關閉乙管，還要幾分鐘可以注滿水池？

　　分析與解：

　　先求出甲乙丙三管齊開2分鐘后，注滿了水池的幾分之幾，還余下幾分之幾。再求余下的要幾分鐘。

　　1、三管齊開2分鐘，注滿了水池的幾分之幾？

　　（ + - ）×2＝

　　2、還余下幾分之幾？

　　1- ＝

　　3、余下的還要幾分鐘？

　　÷（ - ）＝4分鐘

　　例5、一隊割麥工人要把兩塊麥地的麥割去。大的一塊麥地比小的一塊大一倍。全隊成員先用半天時間割大的一塊麥地，到下午，他們對半分開，一半仍留在大麥地上，到傍晚時正好把大麥地的麥割完；另一半到小麥地去割，到傍晚時還剩下一小塊，這一小塊第二天由1人去割，正好1天割完。這個割麥隊共有多少人？

　　分析與解：

　　把大的一塊麥地算作單位“1”，小的一塊麥地為。根據題意，一半成員半天割了，一天割了，全隊成員一天可割 ×2＝。

　　1、全隊成員一天可割幾分之幾？

　　×2＝

　　2、所剩的一小塊面積是幾分之幾？

　　-（ -1）＝

　　3、全隊有多少人？

　　（1+ - ）÷ ＝8人

　　例6、一項工程，甲工程隊每天工作8小時,3天可以完成；乙工程隊每天工作9小時，8天可以完成。如果兩工程隊合作，每天工作6小時，幾天可以完成？

　　分析與解：

　　要求兩隊合做，幾天可以完成，先要求出甲工程隊每小時可以完成全工程的幾分之幾，乙工程隊每小時可以完成全工程的幾分之幾。

　　1、甲工程隊每小時可以完成全工程的幾分之幾？

　　1÷（8×3）＝

　　2、乙工程隊每小時可以完成全工程的幾分之幾？

　　1÷（9×8）＝

　　3、兩隊合作幾天可以完成

　　1÷（＋）÷6＝3天

　　綜合算式：

　　1÷［1÷（8×3）+1÷（9×8）］÷6＝3天

　　例7、一件工作，3個男工和4個女工一天能完成；3個女工和4個男工一天能完成。如果由1個女工獨做，幾天可以完成？

　　分析與解：

　　要求由1個女工獨做，幾天可以完成，先要求得1個女工的工作效率；要求1個女工的工作量，先要求1個男工和2個女工一天的工作量。

　　“3個男工和4個女工一天能完成 ”和“3個女工和4個男工一天能完成 ”把這句話合并成；“7個男工和7個女工一天能完成這件工作的 + 。”

　　1、 7個男工和7個女工一天的工作量。

　　+ ＝

　　2、一個男工和一個女工一天的工作量。

　　÷7＝

　　3、一個女工一天的工作量

　　- ×3＝

　　4、一個女工獨做需要多少天

　　1÷ ＝18天

　　例8、一項工程，甲獨做10天完成，乙獨做12天可以完成，丙獨做15天完成。現在三人合作甲中途因病休息了幾天，結果6天完成任務。甲休息了幾天？

　　如果甲沒有休息，那么甲乙丙都工作了6天，完成了工程量的幾分之幾，超過了幾分之幾，然后求得甲休息了幾天。

　　1、三人合做6天，完成了工程量的幾分之幾？

　　（ + + ）×6＝

　　2、超額完成了工程的幾分之幾？

　　-1＝

　　3、甲休息了幾天？

　　÷ ＝5天

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　　牛頓問題也叫牛吃草問題。由于這個問題是由偉大的科學家牛頓提出來的，所以以后就把這類問題叫做牛頓問題。牛頓問題的特點是隨著時間的增長所研究的量也等量地增加，解答時，要抓住這個關鍵問題，也就是要求出原來的量和增加的量各是多少。

　　牧場上長滿牧草，每天勻速生長。這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。供25頭牛吃幾天？

　　牧草的總量不定，它是隨時間的增加而增加。但是不管它怎樣增長，草的總量總是由牧場原有草量和每天長出的草量相加得來的。

　　10頭牛20天吃的總草量比15頭牛10天吃的草量多，多出部分相當于10天新長出的草量。

　　設法求出一天新長出的草量和原有草量。

　　1、10頭牛20天吃的草可供多少牛吃一天？

　　10×20=200頭、

　　2、15頭牛10天吃的草可供多少頭牛吃一天

　　15×10=150頭

　　3、(20–10)天新長出的草可供多少頭牛吃一天？

　　50÷10=5頭

　　4、每天新長出的草可供多少頭牛吃一天？

　　50÷10=5頭

　　5、20天(或10天)新長出的草可供多少頭牛吃一天？

　　5×20=100頭或5×10=50頭

　　6、原有的草可供多少頭牛吃一天？

　　200–100=100頭或150–50=100頭

　　7、每天25頭牛中，如果有5頭牛去吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，可吃幾天？

　　100÷(25–5)=5天

　　例2、有一水井，連續不斷涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用3 臺抽水機抽水，36分鐘可以抽完；如果用5臺抽水機抽水，20分鐘可以抽完。現在12分鐘要抽完井水，需要抽水機多少臺？

　　隨著時間的增長涌出的泉水也不斷增多，但原來水量和每分鐘涌出的水量不變。

　　1、 3臺抽水機的抽水量。

　　3×36=108臺分

　　2、 5臺抽水機的抽水量。

　　5×20=100臺分

　　3、使用3 臺抽水機比用5臺抽水機多用多少分鐘？

　　36–20=16分

　　4、使用3臺抽水機比用5臺抽水機少抽的水量。

　　108–100=8臺分

　　5、泉水每分鐘涌出的水量，算出需要抽水機多少臺？

　　8÷16= 臺

　　6、水井分鐘涌出的水量。

　　×36=18臺分

　　7、水井原有的水量。

　　108–18=90臺分

　　8、水井原有水量加上12分鐘涌出的水量。

　　×12=6臺分

　　9、水井原有水量加上12分鐘涌出的水量。

　　90+6、12臺分

　　10、需要抽水機多少臺？

　　96÷12=8臺

　　例3、一片青草，每天生長速度相等。這片青草可共10頭牛吃20天，或共60只羊吃10天。如果1頭牛吃的草量等于4 只羊吃的草量，那么10頭牛與60只羊一起吃，可以吃多少天？

　　先把題目進行轉化。因為1頭牛吃的草量等于4 只羊吃的草量。由此，題目可以轉換成：這片青草可供(4×10)只羊吃20天，或供60只羊吃10天，問(4×10+60)只羊吃多少天？

　　1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天？

　　4×10×20=800只天

　　2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天？

　　60×10=600只天

　　3、(20–10)天新長出的草可供多少只羊吃一天？

　　800–600=200只

　　4、每天的新長出的草可供多少只羊吃一天？

　　200÷10=20只

　　5、 20天新長出的草可供多少只羊吃一天？

　　20×20=400只

　　6、原有草可供多少只羊吃一天？

　　800–400=400只

　　7、可吃多少天？

　　400÷(4×10+60–20)=5天

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　　漢朝大將韓信善于用兵。據說韓信每當部隊集合，他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7報數后，報告一下特各次的余數，便可知道出操公倍數和缺額。

　　這個問題及其解法，大世界數學史上頗負盛名，中外數學家都稱之為“孫子定理”或“中國剩余定理”。

　　這類問題的解題依據是：

　　1、如果被除數增加(或減少)除數的若干倍，除數不變，那么余數不變。例如：

　　20÷3=6……2

　　(20-3×5)÷3=21……2

　　(20+3×15)÷3=1……2

　　2、如果被除數擴大(縮小)若干倍，除數不變，那么余數也擴大(縮小)同樣的倍數。例如：

　　20÷9=2……2

　　(20×3)÷9=6……6

　　(20÷2)÷9=1……1

　　例1、一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2。求適合這些條件的最小的數。

　　1、求出能被5和7整除，而被3除余1的數，并把這個數乘以2。

　　70×2=140

　　2、求出能被3和7整除，而被5除余1的數，并把這個數乘以3。

　　21×3=63

　　3、求出能被5和3整除，而被7除余1的數，并把這個數乘以2。

　　15×2=30

　　4、求得上面三個數的和

　　140+63+30=233

　　5、求3、57的最小公倍數

　　［3、5、7］=105

　　6、如果和大于最小公倍數，要從和里減去最小公倍數的若干倍

　　233–105×2=23

　　例2、一個數除以3余2，除以5余2，除以7余4，求適合這些條件的最小的數。

　　解法一：

　　70×2+21×2+15×4=242

　　［3、5、7］=105

　　242–105×2=32

　　解法二、

　　35+21×2+15×4=137

　　［3、5、7］=105

　　137–105=32

　　例3、一個數除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合這些條件的最小的數。

　　1、因為［6、7］=42，而42÷5余2，根據第二個依據，42×4÷5應余8(2×4)，實際余3，所以取42×4=168

　　2、因為［7、5］=35，而35÷6余5，則取35×2=70

　　3、［5、6］=30,30÷7余2，則取30×4=120

　　4、［5、6、7、］=210

　　5、 168+70+120–210=148

　　例4、我國古代算書上有一道韓信點兵的算題：衛兵一隊列成五行縱隊，末行一人；列成六行縱隊末行五人；列成七行縱隊，末行四人；列成十一行縱隊，末行十人。求兵數。

　　1、［6、7、11］=462

　　462÷5余2

　　462×3÷5余1

　　取462×3=1386

　　2、［7、11、5］=385

　　385÷6余5

　　385×5÷6余5

　　取385×5=1925

　　3、［11、5、6］=330

　　330÷7余1

　　220×4÷7余4

　　取330×4=1320

　　4、［5、6、7］=210

　　210÷11余1

　　210×10÷11余10

　　取210×10=2100

　　5、求四個數的和

　　1386+1925+1320+2100=6731

　　6、［5、6、7、11］=2310

　　7、6731–2310×2=2111

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