名人故事之數(shù)學天才萊布尼茲
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萊布尼茲(Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716)是17、18世紀之交德國最重要的數(shù)學家、物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。
一、生平事跡
萊布尼茲出生于德國東部萊比錫的一個書香之家，父親是萊比錫大學的道德哲學教授，母親出生在一個教授家庭。萊布尼茲的父親在他年僅6歲時便去世了，給他留下了豐富的藏書。萊布尼茲因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學者的著作，由此而獲得了堅實的文化功底和明確的學術目標。15歲時，他進了萊比錫大學學習法律，一進校便跟上了大學二年級標準的人文學科的課程，還廣泛閱讀了培根、開普勒、伽利略、等人的著作，并對他們的著述進行深入的思考和評價。在聽了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，萊布尼茲對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣。17歲時他在耶拿大學學習了短時期的數(shù)學，并獲得了哲學碩士學位。
20歲時，萊布尼茲轉(zhuǎn)入阿爾特道夫大學。這一年，他發(fā)表了第一篇數(shù)學論文《論組合的藝術》。這是一篇關于數(shù)理邏輯的文章，其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結于一種計算的結果。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創(chuàng)新的智慧和數(shù)學才華。
萊布尼茲在阿爾特道夫大學獲得博士學位后便投身外交界。從1671年開始，他利用外交活動開拓了與外界的廣泛聯(lián)系，尤以通信作為他獲取外界信息、與人進行思想交流的一種主要方式。在出訪巴黎時，萊布尼茲深受帕斯卡事跡的鼓舞，決心鉆研高等數(shù)學，并研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作。1673年，萊布尼茲被推薦為英國皇家學會會員。此時，他的興趣已明顯地朝向了數(shù)學和自然科學，開始了對無窮小算法的研究，獨立地創(chuàng)立了微積分的基本概念與算法，和牛頓并蒂雙輝共同奠定了微積分學。1676年，他到漢諾威公爵府擔任法律顧問兼圖書館館長。1700年被選為巴黎科學院院士，促成建立了柏林科學院并任首任院長。
1716年11月14日，萊布尼茲在漢諾威逝世，終年70歲。
二、始創(chuàng)微積分
17世紀下半葉，歐洲科學技術迅猛發(fā)展，由于生產(chǎn)力的提高和社會各方面的迫切需要，經(jīng)各國科學家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎上的微積分理論應運而生了。微積分思想，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計算面積和體積的方法。1665年牛頓創(chuàng)始了微積分，萊布尼茲在1673~1676年間也發(fā)表了微積分思想的論著。以前，微分和積分作為兩種數(shù)學運算、兩類數(shù)學問題，是分別的加以研究的。卡瓦列里、巴羅、沃利斯等人得到了一系列求面積(積分)、求切線斜率(導數(shù))的重要結果，但這些結果都是孤立的，不連貫的。只有萊布尼茲和牛頓將積分和微分真正溝通起來，明確地找到了兩者內(nèi)在的直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運算。而這是微積分建立的關鍵所在。只有確立了這一基本關系，才能在此基礎上構建系統(tǒng)的微積分學。并從對各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號表示的微積分運算法則。因此，微積分“是牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的”(恩格斯：《自然辯證法》)。
然而關于微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權，數(shù)學上曾掀起了一場激烈的爭論。實際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茲，但萊布尼茲成果的發(fā)表則早于牛頓。萊布尼茲在1684年10月發(fā)表的《教師學報》上的論文，“一種求極大極小的奇妙類型的計算”，在數(shù)學史上被認為是最早發(fā)表的微積分文獻。牛頓在1687年出版的《自然哲學的數(shù)學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學家G、W萊布尼茲的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外。”(但在第三版及以后再版時，這段話被刪掉了。)因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創(chuàng)建微積分的。牛頓從物理學出發(fā)，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數(shù)學的嚴密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。萊布尼茲認識到好的數(shù)學符號能節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學成功的關鍵之一。因此，他發(fā)明了一套適用的符號系統(tǒng)，如，引入dx 表示x的微分，∫表示積分，dnx表示n階微分等等。這些符號進一步促進了微積分學的發(fā)展。1713年，萊布尼茲發(fā)表了《微積分的歷史和起源》一文，總結了自己創(chuàng)立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性。
三、高等數(shù)學上的眾多成就
萊布尼茲在數(shù)學方面的成就是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數(shù)學的許多領域。他的一系列重要數(shù)學理論的提出，為后來的數(shù)學理論奠定了基礎。
萊布尼茲曾討論過負數(shù)和復數(shù)的性質(zhì)，得出復數(shù)的對數(shù)并不存在，共扼復數(shù)的和是實數(shù)的結論。在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。此外，萊布尼茲還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念，發(fā)明了能夠進行加、減、乘、除及開方運算的計算機和二進制，為計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅實的基礎。
四、豐碩的物理學成果
萊布尼茲的物理學成就也是非凡的。他發(fā)表了《物理學新假說》，提出了具體運動原理和抽象運動原理，認為運動著的物體，不論多么渺小，他將帶著處于完全靜止狀態(tài)的物體的部分一起運動。他還對笛卡兒提出的動量守恒原理進行了認真的探討，提出了能量守恒原理的雛型，并在《教師學報》上發(fā)表了“關于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯誤的簡短證明”，提出了運動的量的問題，證明了動量不能作為運動的度量單位，并引入動能概念，第一次認為動能守恒是一個普通的物理原理。他又充分地證明了“永動機是不可能”的觀點。他也反對牛頓的絕對時空觀，認為“沒有物質(zhì)也就沒有空見，空間本身不是絕對的實在性”，“空間和物質(zhì)的區(qū)別就象時間和運動的區(qū)別一樣，可是這些東西雖有區(qū)別，卻是不可分離的”。在光學方面，萊布尼茲也有所建樹，他利用微積分中的求極值方法，推導出了折射定律，并嘗試用求極值的方法解釋光學基本定律。可以說萊布尼茲的物理學研究一直是朝著為物理學建立一個類似歐氏幾何的公理系統(tǒng)的目標前進的。
五、中西文化交流之倡導者
萊布尼茲對中國、的科學、文化和哲學思想十分關注，是最早研究中國文化和中國哲學的德國人。他向耶 酥會來華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關中國的情況，包括養(yǎng)蠶紡織、造紙印染、冶金礦產(chǎn)、天文地理、數(shù)學文字等等，并將這些資料編輯成冊出版。他認為中西相互之間應建立一種交流認識的新型關系。在《中國近況》一書的緒論中，萊布尼茲寫道：“全人類最偉大的文化和最發(fā)達的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端，即匯集在歐洲和位于地球另一端的東方的歐洲——中國。”“中國這一文明古國與歐洲相比，面積相當，但人口數(shù)量則已超過。”“在日常生活以及經(jīng)驗地應付自然的技能方面，我們是不分伯仲的。我們雙方各自都具備通過相互交流使對方受益的技能。在思考的縝密和理性的思辯方面，顯然我們要略勝一籌”，但“在時間哲學，即在生活與人類實際方面的倫理以及治國學說方面，我們實在是相形見拙了。”在這里，萊布尼茲不僅顯示出了不帶“歐洲中心論”色彩的虛心好學精神，而且為中西文化雙向交流描繪了宏偉的藍圖，極力推動這種交流向縱深發(fā)展，是東西方人民相互學習，取長補短，共同繁榮進步。
萊布尼茲為促進中西文化交流做出了畢生的努力，產(chǎn)生了廣泛而深遠的影響。他的虛心好學、對中國文化平等相待，不含“歐洲中心論”偏見的精神尤為難能可貴，值得后世永遠敬仰、效仿。
人物成就
現(xiàn)今在微積分領域使用的符號仍是萊布尼茨所提出的。在高等數(shù)學和數(shù)學分析領域，萊布尼茨判別法是用來判別交錯級數(shù)的收斂性的。
萊布尼茨
萊布尼茨與艾薩克·牛頓誰先發(fā)明微積分的爭論是數(shù)學界至今最大的公案。萊布尼茨于1684年發(fā)表第一篇微分論文，定義了微分概念，采用了微分符號dx、dy。1686年他又發(fā)表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫。依據(jù)萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學。
然而1695年英國學者宣稱：微積分的發(fā)明權屬于艾薩克·牛頓；1699年又說：牛頓是微積分的“第一發(fā)明人”。1712年英國皇家學會成立了一個委員會調(diào)查此案，1713年初發(fā)布公告：“確認艾薩克·牛頓是微積分的第一發(fā)明人。”萊布尼茨直至去世后的幾年都受到了冷遇。由于對牛頓的盲目崇拜，英國學者長期固守于牛頓的流數(shù)術，只用牛頓的流數(shù)符號，不屑采用萊布尼茨更優(yōu)越的符號，以致英國的數(shù)學脫離了數(shù)學發(fā)展的時代潮流。
不過萊布尼茨對牛頓的評價非常高，在1701年柏林宮廷的一次宴會上，普魯士國王腓特烈詢問萊布尼茨對牛頓的看法，萊布尼茨說道：“在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數(shù)學中，牛頓的工作超過了一半。”
牛頓在1687年出版的《自然哲學的數(shù)學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學家萊布尼茨的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外”（但在第三版及以后再版時，這段話被刪掉了）。因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茨是各自獨立地創(chuàng)建微積分的。
牛頓從物理學出發(fā)，運用幾何方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發(fā)，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數(shù)學的嚴密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。
萊布尼茨認識到好的數(shù)學符號能節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學成功的關鍵之一。因此，他所創(chuàng)設的微積分符號遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大影響。1714至1716年間，萊布尼茨在去世前，起草了《微積分的歷史和起源》一文（本文直到1846年才被發(fā)表），總結了自己創(chuàng)立微積分科學的思路，說明了自己成就的獨立性。
拓撲學最早稱之“位相分析學”（analysis situs），是萊布尼茨1679年提出的，這是一門研究地形、地貌相類似的學科，當時主要研究的是出于數(shù)學分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問題。關于萊布尼茨對拓撲學的貢獻，尚存爭論。Mates引用Jacob Freudenthal1954年一篇論文里的話說：
盡管萊布尼茨認為一列點在空間中的位置是由其間距離唯一決定的——當且僅當距離發(fā)生變化時點的位置發(fā)生相應的改變——他的仰慕者歐拉，在他著名的一篇論文（1736年發(fā)表，解決了哥尼斯堡（加里寧格勒）七橋問題及其推廣）中，卻是在“拓撲變形時點的位置不發(fā)生變化”的意義下使用“幾何位置”這個名詞的。他誤信了萊布尼茨是這個概念的創(chuàng)始者。……人們常常意識不到萊布尼茨是在完全不同的意義下使用這個名詞的，因此被尊為數(shù)學的這個分支領域的奠基人并不恰當。
但平野秀秋持有不同看法，他引用本華·曼德博的話說：
在萊布尼茨海量的科學成果中探索是發(fā)人深省的體驗。除了微積分以及其他已經(jīng)完成的研究之外，大量涉及內(nèi)容廣泛且極富前瞻性的研究對科學發(fā)展的推動力勢不可擋。在‘填充理論’上即有例子，……在發(fā)現(xiàn)萊布尼茨還曾經(jīng)關注過幾何度量的重要性之后，我對他的狂熱更甚了。在“歐幾里德普羅塔”中……，其使得歐幾里德公理更加嚴格，他陳述道，……‘對直線，我有數(shù)種不同的定義。直線是曲線的一種，而曲線的任何部分都是和整體相似的，因此直線也具有這種特性；這不僅適用于曲線，而且適用于集合。’這個論斷今天已經(jīng)可以被證明。
因而分形幾何（由本華·曼德博發(fā)揚光大）理論在萊布尼茨的自相似性思想和連續(xù)性原理中尋求支持：大自然沒有跳躍（拉丁語“natura non facit saltus”，英語"nature does not make jumps"）。當萊布尼茨在他的《形而上學論》著作中寫道，“直線是曲線的一種，其任何部分都是和整體類似的”，他實際上提前兩個世紀預言了拓撲學的誕生。至于“填充理論”，萊布尼茨對他的朋友Des Bosses說，“你想象一個圓，然后用三個全等的最大半徑的圓填滿它，后來的三個小圓又可以以同樣的過程被更小的圓填充”。這個過程可以無限地繼續(xù)下去，并由此生發(fā)出了自相似性的思想。萊布尼茨對于歐氏公理的改進亦包含同樣的概念。
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